Question

在等比數(shù)列{a_n}中，前n項(xiàng)和為S_n，若S_m，S_m+2，S_m+1成等差數(shù)列，則a_m，a_m+2，a_m+1成等差數(shù)列．
（1）寫出這個(gè)命題的逆命題；
（2）判斷逆命題是否為真？并給出證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)逆命題的要求直接寫出逆命題即可．
（2）根據(jù)逆命題的條件推出公比q的值，然后驗(yàn)證結(jié)論是否成立．

解答：解：（1）在等比數(shù)列{a_n}中，前n項(xiàng)和為S_n，若a_m，a_m+2，a_m+1成等差數(shù)列，則S_m，S_m+2，S_m+1成等差數(shù)列．
（2）數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公比為q．由題意知：2a_m+2=a_m+a_m+1
即2•a₁•q^m+1=a₁•q^m-1+a₁•q^m∵a₁≠0，q≠0，∴2q²-q-1=0，∴q=1或q=-

1

2

當(dāng)q=1時(shí)，有S_m=ma₁，S_m+2=（m+2）a₁，S_m+1=（m+1）a₁，
顯然：2S_m+2≠S_m+S_m+1．此時(shí)逆命題為假．
當(dāng)q=-

1

2

時(shí)，有2Sm+2=

2a1(1-(- 1 2 )m+2)

1+ 1 2

=

4

3

a1[1-(-

1

2

)m+2]，Sm+Sm+1=

a1(1-(- 1 2 )m)

1+ 1 2

+

2a1(1-(- 1 2 )m+)

1+ 1 2

=

4

3

a1[1-(-

1

2

)m+2]
∴2S_m+2=S_m+S_m+1，此時(shí)逆命題為真．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查數(shù)列的基本知識(shí)，命題與逆命題的關(guān)系，考查計(jì)算能力，常考題型．