Question

已知四棱錐P—ABCD及其三視圖如下圖所示，E是側棱PC上的動點。
（1）求四棱錐P—ABCD的體積；
（2）不論點E在何位置，是否都有BDAE？試證明你的結論；
（3）若點E為PC的中點，求二面角D—AE—B的大小。

Answer 1

（1）2 /3   （2）略（3）120°

本試題主要考查了立體幾何中的線面的垂直，以及二面角的求解的綜合運用。
解：（I）由三視圖知PC⊥面ABCD，ABCD為正方形，且PC=2，AB=BC=1（2分）
∴VP-ABCD="1" /3 •S_ABCD×PC="1" /3 •1²•2="2" /3  （1分）
（II）∵PC⊥面ABCD，BD?面ABCD∴PC⊥BD …（1分）而BD⊥AC，AC∩AE=A，
∴BD⊥面ACE，…（1分）而AE?面ACE∴BD⊥AE （1分）
（III）法一：連接AC，交BD于O．由對稱性，二面角D-AE-B是二面角O-AE-B的2倍，設θ為二面角O-AE-B的平面角．注意到B在面ACE上的射影為O
S△AOE="1/" 2  S△ACE="1" /2 ×1/ 2 × = / 4 ．
S△ABE="1" /2 AB•BE=  =  / 2 ，（2分）∴cosθ=S△AOE /S△ABE ="1" /2
∴θ=60°∴二面角D-AE-B是120°（2分）
法二：以C為坐標原點，CD所在直線為x軸建立空間直角坐標系
則D（1，0，0），A（1，1，0），B（0，1，0），E（0，0，1），
從而 DE =（-1，0，1）， DA =（0，1，0），
BA =（1，0，0）， BE =（0，-1，1）（2分）
設平面ADE和平面ABE的法向量分別為
n₁ =（x₁，y₁，z₁）， n₂ =（x₂，y₂，z₂）則-x₁+z₁=0，y₁=0
x₂=0，-y₂+z₂=0令z₁=1，z₂=-1，則 n₁ =（ （1，0，1）， n₂ =（0，-1，-1）（2分）
設二面角D-AE-B的平面角為θ，則|cosθ|="|" n₁ •  n₂  | /| n₁ | ×| n₂|  =  1 /2 ．
二面角D-AE-B為鈍二面角．∴二面角D-AE-B的大小為2π/ 3 ．