Question

（2011•浙江模擬）若(x+

1

x2

)n（n∈N₊）的展開式中存在常數項A，此時二項式系數的最大值為B，則（　　）

A．A＞B

B．A≥B

C．A＜B

D．A≤B

Answer 1

分析：由二項展開式的通項Tr+1=

C

r n

xn-r(

1

x2

) r=C_n^rx^n-3r，可知，當n-3r=0即r=

1

3

n，為常數項，即可得A=

C

n 3 n

，由二項式系數的性質可求B，然后結合二項式系數的單調性可比較A，B的大小

解答：解：由題意可得，Tr+1=

C

r n

xn-r(

1

x2

) r=C_n^rx^n-3r
令n-3r=0可得r=

1

3

n，則n一定是3的倍數
此時A=

C

n 3 n

當n為偶數時，二項式系數的最大值為B=

C

n 2 n

若n為奇數時，二項式系數的最大值為B=

C

n-1 2 n

=

C

n+1 2 n

當n=3時，A=B
當n＞3時，

n

2

＞

n-1

2

＞

n

3

，由二項式系數的性質可知

C

n-1 2 n

＞

C

n 3 n

即B＞A
綜上可得，A≤B
故選：D

點評：本題主要考查了二項式系數的性質的應用，解題中要注意對n的討論的根本原因是要比較

n

3

與

n-1

2

的大小，進而比較A=

C

n 3 n

與B=

C

n 2 n

的大小