Question

（2012•閔行區三模）已知數列{a_n}中，a₁＞0，an+1=

3+an 2

（n∈N^*）．
（1）試求a₁的值，使數列{a_n}是一個常數列；
（2）試求a₁的取值范圍，使得數列{a_n}是單調增數列；
（3）若{a_n}不為常數列，設b_n=|a_n+1-a_n|（n∈N^*），S_n為數列{b_n}的前n項和，請你寫出a₁的一個值，使得Sn＜

1

2

恒成立，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由a_n=a_n+1及a_n＞0可解得a_n，從而得a₁；
（2）通過作差可判斷a_n+1-a_n與a_n-a_n-1同號，要使a_n+1＞a_n對任意正整數n都成立，只須a₂＞a₁＞0，即

3+a1 2

＞a1，由此可解得a₁的取值范圍；
（3）取a₁=2，由（2）的結論知a_n+1-a_n＜0，可得S_n=2-a_n+1，由an+2=

3+an+1 2

＜an+1，可得an+1＞

3

2

，從而可得Sn＜

1

2

恒成立；

解答：解：（1）由an=an+1=

3+an 2

及a_n＞0，得an=

3

2

．
所以a1=

3

2

時，{a_n}為常數數列．
（2）a_n+1-a_n=

3+an 2

-

3+an-1 2

=

an-an-1

2[ 3+an 2 + 3+an-1 2 ]

．
∵2[

3+an 2

+

3+an-1 2

]＞0，∴a_n+1-a_n與a_n-a_n-1同號．  
要使a_n+1＞a_n對任意正整數n都成立，只須a₂＞a₁＞0，即

3+a1 2

＞a1，
解得0＜a1＜

3

2

，
∴當0＜a1＜

3

2

時，a_n+1＞a_n對任何正整數n成立．
（3）選取a₁=2時，
由（2）的結論知a_n+1-a_n＜0．
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=|a₂-a₁|+|a₃-a₂|+…+|a_n+1-a_n|=a₁-a₂+a₂-a₃+…+a_n-a_n+1=a₁-a_n+1=2-a_n+1，
又an+2=

3+an+1 2

＜an+1，解得an+1＞

3

2

，
故2-a_n+1＜

1

2

，即Sn＜

1

2

恒成立．

點評：本題考查數列遞推式、數列的函數特性、數列求和等知識，考查學生靈活運用知識分析解決問題的能力．