Question

（2013•豐臺區二模）已知偶函數f（x）（x∈R），當x∈（-2，0]時，f（x）=-x（2+x），當x∈[2，+∞）時，f（x）=（x-2）（a-x）（a∈R）．
關于偶函數f（x）的圖象G和直線l：y=m（m∈R）的3個命題如下：
①當a=2，m=0時，直線l與圖象G恰有3個公共點；
②當a=3，m=

1

4

時，直線l與圖象G恰有6個公共點；
③?m∈（1，+∞），?a∈（4，+∞），使得直線l與圖象G交于4個點，且相鄰點之間的距離相等．
其中正確命題的序號是（　　）

A．①②

B．①③

C．②③

D．①②③

Answer 1

分析：可求出函數在x∈[0，+∞）時的解析式，令其等于0，解方程可得根，由對稱性可得根的個數，可判①②正確；③同理可得根個數為4，可得4個點的坐標，由x₃-x₂=x₄-x₃，化簡可得a的范圍，取a的值即可．

解答：解：設x∈[0，2），則-x∈（-2，0]，故f（-x）=x（2-x），
由函數為偶函數可知，當x∈[0，2）時，f（x）=x（2-x），
故當x∈[0，+∞）時，f（x）=

x(2-x)，x∈[0，2) (x-2)(a-x)，x∈[2，+∞)

，
①當a=2，m=0時，x∈[0，+∞）時，f（x）=

x(2-x)，x∈[0，2) -(x-2)2，x∈[2，+∞)

，
令其等于0可得，x=0，或x=2，由函數圖象的對稱性可知，
此時直線l與圖象G恰有3個公共點-2，0，2，故①正確；
②當a=3，m=

1

4

時，x∈[0，+∞）時，f（x）=

x(2-x)，x∈[0，2) (x-2)(3-x)，x∈[2，+∞)

，
令其等于

1

4

可得x=

2- 3

2

，或x=

2+ 3

2

，或x=

5

2

，由函數圖象的對稱性可知，
此時直線l與圖象G恰有6個公共點-

2- 3

2

，-

2+ 3

2

，-

5

2

，

2- 3

2

，

2+ 3

2

，

5

2

，故②正確；
③?m∈（1，+∞），令f（x）=

x(2-x)，x∈[0，2) (x-2)(a-x)，x∈[2，+∞)

=m，
∵當x∈[0，2）時，f（x）=x（2-x）=-（x-1）²+1≤1，
故只能讓（2-x）（a-x）=m，（m＞1），當△=（a-2）²-4m＞0，
即（a-2）²＞4，即a＞4，或a＜0時，
可解得x=

a+2- (a-2)2-4m

2

，或x=

a+2+ (a-2)2-4m

2

，
故由函數圖象的對稱性可知直線l與圖象G交于4個點，由小到大排列為：x₁=-

a+2+ (a-2)2-4m

2

，
x₂=-

a+2- (a-2)2-4m

2

，x₃=

a+2- (a-2)2-4m

2

，x₄=

a+2+ (a-2)2-4m

2

，
而x₄-x₃=

(a-2)2-4m

，x₃-x₂=a+2-

(a-2)2-4m

，
由x₃-x₂=x₄-x₃，化簡可得3a²-20a+12=16m＞16，解得a＜

10-2 22

3

，或a＞

10+2 22

3

，
故可取a=8＞

10+2 22

3

，當然滿足a∈（4，+∞），使距離相等，
故對?m∈（1，+∞），?a=8∈（4，+∞），使得直線l與圖象G交于4個點，且相鄰點之間的距離相等，故③正確．
故選D

點評：本題考查命題真假的判斷，涉及函數的奇偶性和根的個數的判斷，屬基礎題．