Question

設P是曲線C₁上的任一點，Q是曲線C₂上的任一點，稱|PQ|的最小值為曲線C₁與曲線C₂的距離．
（1）求曲線C₁：y=e^x與直線C₂：y=x-1的距離；
（2）設曲線C₁：y=e^x與直線C₃：y=x-m（m∈R，m≥0）的距離為d₁，直線C₂：y=x-1與直線C₃：y=x-m的距離為d₂，求d₁+d₂的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）在曲線C₁上任取一點P（x，e^x），由點到直線的距離公式求出點P（x，e^x）到y=x-1的距離，然后構造函數f（x）=e^x-x+1，利用導函數求其最小值；
（2）結合（1）中的過程可知，，由兩條平行線間的距離公式得，作和后利用絕對值的不等式求最小值．
解答：解：（1）要求曲線C₁與直線C₂的距離，只需求曲線C₁上的點到直線y=x-1距離的最小值．
設曲線C₁上任意一點為P（x，e^x），則點P（x，e^x）到y=x-1的距離．
令f（x）=e^x-x+1，則f'（x）=e^x-1，
由f'（x）=e^x-1=0，得x=0．
所以當x∈（0，+∞）時，f'（x）=e^x-1＞0
當x∈（-∞，0）時，f'（x）=e^x-1＜0．
故當x=0時，函數f（x）=e^x-x+1取極小值，也就是最小值為f（0）=2，
所以取最小值，故曲線C₁與曲線C₂的距離為；   
（2）由（1）可知，曲線C₁：y=e^x與直線C₃：y=x-m的距離，
由兩條平行線間的距離公式得直線C₂：y=x-1與直線C₃：y=x-m的距離，
則=
，
所以d₁+d₂的最小值為．
點評：本題考查了點到直線的距離公式，考查了函數構造法，訓練了利用導數求最值和利用絕對值不等式求最值，是中檔題．