Question

【題目】已知半徑為2，圓心在直線y=x+2上的圓C．
（1）當圓C經過點A（2，2）且與y軸相切時，求圓C的方程；
（2）已知E（1，1），F（1，3），若圓C上存在點Q，使|QF|2﹣|QE|2=32，求圓心橫坐標a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
解：（1）∵圓心在直線y=﹣x+2上，
∴可設圓心坐標為（a，﹣a+2），圓的方程為（x﹣a）2+[y﹣（﹣a+2）]2=4，
∵圓經過點A（2，2）且與y軸相切，
∴有，解得a=2，
∴所求方程是：（x﹣2）2+y2=4；
（2）設Q（x，y），則由|QF|2﹣|QE|2=32得：（x﹣1）2+（y+3）2﹣[（x﹣1）2+（y﹣1）2]=32，即y=3，
∴Q在直線y=3上，
∵Q在（x﹣a）2+[y﹣（﹣a+2）]2=4上，
∴⊙C與直線y=3有交點，
∵⊙C的圓心縱坐標為﹣a+2，半徑為2，
∴⊙C與直線y=3有交點的充要條件是1≤﹣a+2≤5，
∴﹣3≤a≤1，即圓心的橫坐標a的取值范圍是﹣3≤a≤1．
【解析】（1）可設圓心坐標為（a，﹣a+2），圓的方程為（x﹣a）2+[y﹣（﹣a+2）]2=4，利用圓經過點A（2，2）且與y軸相切，建立方程，即可求圓C的方程；
（2）設Q（x，y），則由|QF|2﹣|QE|2=32得y=3，即Q在直線y=3上，根據Q在（x﹣a）2+[y﹣（﹣a+2）]2=4上，可得⊙C與直線y=3有交點，從而可求圓心的橫坐標a的取值范圍．