Question

（I）求函數的定義域；
（2）判斷并證明函數f（x）=的奇偶性
（3）證明函數 f（x）= 在x∈[2，+∞）上是增函數，并求f（x）在[4，8]上的值域．

Answer 1

解：（Ⅰ）由得-1＜x≤，
∴求函數的定義域為：{  x|-1＜x≤}
（2）f（x）=x+為奇函數
證明：∵f（-x）=-x-=-（x+）=-f（x），
∴f（x）=x+為奇函數．
（3）證明：設2＜x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=x₁+-x₂-
=x₁-x₂-
=（x₁-x₂）（1-)
∵2＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，即0＜＜1．
∴1-＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）是增函數．
由（1）知f（x）在[4，8]上是增函數
∴f（x）_max=f（8）=，f（x）_min=f（4）=5．
∴f（x）在[4，8]上的值域為[5，]．
分析：（1）由可求得其定義域；
（2）由奇函數的定義f（-x）=-x-=-（x+）=-f（x），可判斷f（x）為奇函數；
（3）利用單調函數的定義，設2＜x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂）化積判斷符號即可．
點評：本題考查奇偶性與單調性的綜合，著重考查函數的奇偶性與單調性的定義及其應用，突出轉化思想的運用，屬于中檔題．