Question

已知點P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）都在直線l：y=2x+2上，P₁為直線l與x軸的交點，數列{a_n}成等差數列，公差為1．
（Ⅰ）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若f(n)=

an，n為奇數 bn，n為偶數

問是否存在k∈N^*，使得f（k+5）=2f（k）-5成立？若存在，求出k的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）令直線中d的y=0等于0求出P₁的坐標即得到數列{a_n}，{b_n}的首項，利用等差數列的通項公式求出a_n，將直線中的x用a_n
代替求出y的值即}，{b_n}的通項公式．
（2）對k分奇數、偶數討論得到f（k）的值，列出方程求出k的值．

解答：解（I）由題意知P₁（-1，0）
∴a₁=-1，b₁=0
∴a_n=a₁+（n-1）•1=-1+n-1=n-2
∴b_n=2a_n+2=2（n-2）+2=2n-2…6
（Ⅱ）若k為奇數，則f（k）=a_k=k-2f（k+5）=b_k+5=2k+8
∴2k+8=2（k-2）-5無解
若k為偶數，則f（k）=2k-2，f（k+5）=k+3
∴k+3=2（2k-2）-5，解得k=4
綜上，存在k=4使f（k+5）=2f（k）-5成立．

點評：解決等差數列、等比數列兩個特殊的數列問題，一般利用兩個特殊數列的通項公式、前n項和公式列方程組求出基本量再解決．