Question

如圖，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，∠ABC=45°，其側面展開圖是邊長為8的正方形．E、F分別是側棱AA₁、CC₁上的動點，AE+CF=8．
（1）證明：BD⊥EF；
（2）當CF=CC₁時，求面BEF與底面ABCD所成二面角的正弦值；
（3）多面體AE-BCFB₁的體積V是否為常數？若是，求這個常數，若不是，求V的取值范圍．

Answer 1

（1）證明：連接AC，∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD…（1分），
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是直四棱柱，AA₁⊥面ABCD，BD?面ABCD，
∴AA₁⊥BD…（2分），
∵AA₁∩AC=A，
∴BD⊥面AA₁C₁C…（3分），
∵EF?面AA₁C₁C，
∴BD⊥EF…（4分）．
（2）解：設AC∩BD=O，以O為原點，AC、BD分別為x軸、y軸建立空間直角坐標系Oxyz…（5分），
∵直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，側面展開圖是邊長為8的正方形，
∴菱形ABCD的邊長為2，棱柱側棱長為8，
所以B（0，-，0），E（1，0，4）、F（1，0，2）…（6分），
設平面BEF的一個法向量為，則…（7分），
解得…（8分），
底面ABCD的一個法向量為，
設面SEF與底面ABCD所成二面角的大小為θ，
則|cosθ|==，=．…（9分）．
（3）解：多面體AE-BCFB₁是四棱錐B₁-AEFC和三棱錐B₁-ABC的組合體…（10分），
依題意，BB₁=8，AB=2…（11分），
BB₁是三棱錐B₁-ABC的高，BO是四棱錐B₁-AEFC的高…（12分），
所以V=…（13分），
=是常數…（14分）．
分析：（1）連接AC，因為ABCD是菱形，所以AC⊥BD，因為ABCD-A₁B₁C₁D₁是直四棱柱，所以AA₁⊥BD，BD⊥AA₁C₁C，由此能夠證明BD⊥EF．
（2）設AC∩BD=O，以O為原點，AC、BD分別為x軸、y軸建立空間直角坐標系Oxyz，得B（0，-，0），E（1，0，4）、F（1，0，2），設平面BEF的一個法向量為，則，解得，底面ABCD的一個法向量為，由向量法能求出面SEF與底面ABCD所成二面角的大小．
（3）多面體AE-BCFB₁是四棱錐B₁-AEFC和三棱錐B₁-ABC的組合體，依題意，BB₁=8，AB=2，BB₁是三棱錐B₁-ABC的高，BO是四棱錐B₁-AEFC的高．由此能求出多面體AE-BCFB₁的體積V是常數．
點評：本題考查兩直線垂直的證明、二面角的求法和棱錐體積的計算，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，是高考的重點，易錯點是空間幾何知識體系不牢固．解題時要注意向量法的靈活運用．