Question

【題目】已知f（x）= （a，b為常數）是定義在（﹣1，1）上的奇函數，且f（ ）=
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）用定義證明f（x）在（﹣1，1）上是增函數并求值域；
（3）求不等式f（2t﹣1）+f（t）＜0的解集．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得： ，解得a=2，b=0，

∴f（x）= ．

（2）證明：設任意﹣1＜x1＜x2＜1， ，

∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0；

∵﹣1＜x1，x2＜1，∴1﹣x1x2＞0， ．

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，

∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（﹣1，1）上是增函數．

∴f（x）的值域為（﹣1，1）

（3）解：∵f（2t﹣1）＜﹣f（t）=f（﹣t），

∴

【解析】（1）由題意可得： ，解得即可．（2）利用函數的單調性的定義即可證明；（3）利用函數的單調性、奇偶性即可解出．
【考點精析】通過靈活運用函數的值域和函數奇偶性的性質，掌握求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的；在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇即可以解答此題．