Question

四棱錐P-ABCD的底面是矩形，底面ABCD是∠DAB=60°的菱形，側面PAD為正三角形，其所有平面垂直于底面ABCD

（Ⅰ）求證：AD⊥PB；

（Ⅱ）若E為BC邊的中點，能否在棱PC上找到一點F，使平面DEF⊥平面ABCD，并證明你的結論。

Answer 1

證明：（Ⅰ）

取AD中點G，聯結PG、BG、BD，

∵△PAD為等邊三角形，∴PG⊥AD，

又∵面PAD⊥面ABCD，∴PG⊥面ABCD

△ABD中，∠A=60°，AD=AB，

∴△ABD為等邊三角形，

∵PG⊥AD，∴AD⊥面PBG，∴AD⊥PB

（Ⅱ）聯結CG，與DE相交與H點，

在面PGC中作HF∥PG，交PC與F點，

所以FH⊥面ABCD，

所以面DEF⊥面ABCD

又F是CG的中點，∴F是PC的中點，

∴在PC上存在一點F，即為PC的中點，使得面DEF⊥面ABCD