Question

已知函數滿足，且 在上恒成立.

(1)求的值；

(2)若,解不等式；

(3)是否存在實數，使函數在區間上有最小值？若存在，請求出實數的值；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1），；（2）當，，當；（3）當時，在上有最小值－5.

【解析】

試題分析：本題考查計算能力和分類討論的數學思想.（1）求函數的導數，由二次函數知識求恒成立問題；（2）求導，化為時，對b的值分類討論，分別求解；（3）對函數求導后，其導函數是一個二次函數，根據對軸稱與區間的關系來分類討論.

試題解析：（1）；

恒成立；

即恒成立；

顯然時，上式不能恒成立；

∴，由于對一切則有：

，即，解得：；

∴，.

（2）  

由得：；

即，即 ；

∴當，

，

當.

（3）假設存在實數使函數在區間 上有最小值－5.

圖象開口向上且對稱軸為

①當，此時函數在區間上是遞增的；

解得與矛盾；

②當，此時函數在區間上是遞減的，而在區間上是遞增的，

即

解得；

.

③當，此時函數在區間上遞減的；

,即

解得,滿足

綜上知：當時，在上有最小值－5.

考點：1、函數的導數及其應用；2、二次函數的圖象及其性質；3、分類討論的數學思想.