Question

（2013•蘭州一模）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到兩定點(diǎn)A、B的距離和為8，且|AB|=4

3

，線段AB的中點(diǎn)為O，過點(diǎn)O的所有直線與點(diǎn)P的軌跡相交而形成的線段中，長(zhǎng)度為整數(shù)的有（　　）

A．5條

B．6條

C．7條

D．8條

Answer 1

分析：根據(jù)題意，P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，得到它的方程為

x2

16

+

y2

4

=1．根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，過點(diǎn)O的所有直線與點(diǎn)P的軌跡相交而形成的線段，其長(zhǎng)度介于2b與2a之間，由此即可算出長(zhǎng)度為整數(shù)的條數(shù)．

解答：解：∵|AB|=4

3

＜8，動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A、B的距離和為8，
∴P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，得
2a=8，2c=4

3

，可得b=

a2-c2

=2
∴橢圓的方程為

x2

16

+

y2

4

=1
因此，過點(diǎn)O的所有直線與點(diǎn)P的軌跡相交而形成的線段，
其長(zhǎng)度l∈[2b，2a]，即l∈[4，8]，
長(zhǎng)度為整數(shù)的有4、5、6、7、8，由橢圓的對(duì)稱性，可得長(zhǎng)度為5、6、7的各有兩條，
他要4、8的各一條，總共有8條
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題給出動(dòng)點(diǎn)的軌跡．求滿足條件的線段條數(shù)．著重考查了橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．