Question

已知f（x）=（1+x）^m+（1+2x）ⁿ（m，n∈N^*）的展開式中x的系數為11．
（1）求x²的系數取最小值時n的值．
（2）當x²的系數取得最小值時，求f（x）展開式中x的奇次冪項的系數之和．

Answer 1

分析：（1）利用二項展開式的通項公式求出展開式的x的系數，列出方程得到m，n的關系；利用二項展開式的通項公式求出x²的系數，
將m，n的關系代入得到關于m的二次函數，配方求出最小值
（2）通過對x分別賦值1，-1，兩式子相加求出展開式中x的奇次冪項的系數之和．

解答：解：（1）由已知C_m¹+2C_n¹=11，∴m+2n=11，
x²的系數為C_m²+2²C_n²=

m(m-1)

2

+2n（n-1）=

m2-m

2

+（11-m）（

11-m

2

-1）=（m-

21

4

）²+

351

16

．
∵m∈N^*，∴m=5時，x²的系數取得最小值22，
此時n=3．
（2）由（1）知，當x²的系數取得最小值時，m=5，n=3，∴f（x）=（1+x）⁵+（1+2x）³．
設這時f（x）的展開式為
f（x）=a₀+a₁x+a₂x²++a₅x⁵，
令x=1，a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=2⁵+3³，
令x=-1，a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅=-1，
兩式相減得2（a₁+a₃+a₅）=60，
故展開式中x的奇次冪項的系數之和為30．

點評：本題考查利用二項展開式的通項公式求二項展開式的特殊項問題；利用賦值法求二項展開式的系數和問題．