Question

已知直線y=x-1和橢圓

x2

m

+

y2

m-1

=1（m＞1）交于A、B兩點，若以AB為直徑的圓過橢圓的左焦點F，則實數m的值為

2+

3

．

Answer 1

分析：求出F的坐標，直線方程代入橢圓方程并整理，利用韋達定理，結合以AB為直徑的圓過橢圓的焦點F，利用向量的數量積公式，即可求得結論．

解答：解：由題意，c=

a2-b2

=1，∴F（-1，0）
直線y=x-1代入橢圓

x2

m

+

y2

m-1

=1，并整理，得（2m-1）x²-2mx+2m-m²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

2m

2m-1

，x₁x₂=

2m-m2

2m-1

∴y₁y₂=（x₁-1）（x₂-1）=

-m2+2m-1

2m-1

∵以AB為直徑的圓過橢圓的左焦點F，∴

FA

•

FB

=0
∴（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=0
∴

2m-m2

2m-1

+

2m

2m-1

+1+

-m2+2m-1

2m-1

=0
∴m²-4m+1=0
∴m=2±

3

∵m＞1
∴m=2+

3

故答案為：2+

3

點評：本題考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查韋達定理，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．