Question

已知數(shù)列{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，{b_n}是等比數(shù)列，其中a₁=3，b₁=1，a₂=b₂，3a₅=b₃，若存在常數(shù)u，v對任意正整數(shù)n都有a_n=3log_ub_n+v，則u+v=

6

．

Answer 1

分析：設(shè){a_n}的公差為d，，{b_n}的公比為q，由題設(shè)條件解得q=9時，d=6，故a_n=6n-3，b_n=9^n-1．由a_n=3log_ub_n+v=logu(93n-3)+v，知6n-3-v=logu(93n-3)，分別今n=1和n=2，能夠求出u+v．

解答：解：設(shè){a_n}的公差為d，，{b_n}的公比為q，
∵a₁=3，b₁=1，a₂=b₂，3a₅=b₃，
∴a₂=3+d=q=b₂，
3a₅=3（3+4d）=q²=b₃，
解方程得q=3，或q=9，
當(dāng)q=3時，d=0，不符合題意，故舍去；
當(dāng)q=9時，d=6．
a_n=3+（n-1）×6=6n-3，b_n=q^n-1=9^n-1．
∵a_n=3log_ub_n+v=logu(93n-3)+v，
∴6n-3-v=logu(93n-3)，
當(dāng)n=1時，3-v=log_u1=0，
∴v=3．
當(dāng)n=2時，12-3-3=logu93，
u⁶=9³，u=3，
∴u+v=6．
故答案為：6．

點評：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．