Question

若函數f（x）=x-

1-x2

+b恰有兩個零點，則b的取值范圍是

[1，

2

)

．

Answer 1

分析：由f（x）=x-

1-x2

+b=0得x+b=

1-x2

，設函數y=x+b，y=

1-x2

，然后利用數形結合的思想確定b的取值范圍．

解答：解：由f（x）=x-

1-x2

+b=0得x-b=

1-x2

，
所以設函數y=f（x）=x+b，y=g（x）=

1-x2

，
則函數g（x）=

1-x2

的軌跡為半徑為1的圓（上半部分）．
由圖象可知，當直線y=x+b經過點（0，1）時，此時兩個函數有兩個交點，所以此時b=1．
當直線在第二象限與圓相切時，有圓心（0，0）到直線x-y+b=0的距離d=

|b|

2

=1，
解得b=

2

或b=-

2

．
由圖象可知此b=

2

．
所以要使函數f（x）=x-

1-x2

+b恰有兩個零點，
則1≤b＜

2

．
所以b的取值范圍是[1，

2

)．
故答案為：[1，

2

)．

點評：本題主要考查了函數零點的應用，利用數形結合將零點問題轉化為直線與圓的位置關系是解決本題的關鍵．