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如圖,曲線段C是函數y=x
4
3
(x≥0)的圖象,C過點P1(1,1).過P1作曲線C的切線交x軸于Q1點,過Q1作垂直于x軸的直線交曲線C于P2點,過P2的切線交x軸于Q2點,…,如此反復,得到一系列點Q1,Q2,…,Qn,設Qn(an,0).
(1)求a1
(2)求an的表達式;
(3)證明:
1
a1+1
+
1
a2+1
+…
1
an+1
>n-
1
2
+(
1
2
)n+1
(n∈N*).
分析:(1)求導函數,求得過P1切線方程,即可求得a1
(2)確定過Pn+1(anan
4
3
)
的切線方程,利用直線過Qn+1(an+1,0),可得an的表達式;
(3)證明
1
an+1
>1-
1
2n+1
,累加即可證得結論.
解答:(1)解:y′=
4
3
x
1
3
,則y′|x=1=
4
3
…(2分)
過P1切線方程:y-1=
4
3
(x-1)
,可得Q1(
1
4
,0)
,則a1=
1
4
.    …(4分)
(2)解:y′|x=an=
4
3
an
1
3
,過Pn+1(anan
4
3
)
的切線方程:y-an
4
3
=
4
3
an
1
3
(x-an)
,…(6分)
該直線過Qn+1(an+1,0),則0-an
4
3
=
4
3
an
1
3
(an+1-an)

化簡得an+1=
1
4
an
,則an=(
1
4
)n
…(8分)
(3)證明:
1
an+1
=
4n
1+4n
=1-
1
4n+1
,…(9分)
而4n+1>2•2n=2n+1,故
1
an+1
>1-
1
2n+1
…(11分)
所以
1
a1+1
+
1
a2+1
+…
1
an+1
>n-[(
1
2
)2+(
1
2
)3+…+(
1
2
)n+1]
=n-
1
4
1-(
1
2
)
n
1-
1
2
=n-
1
2
+(
1
2
)n+1

所以
1
a1+1
+
1
a2+1
+…
1
an+1
>n-
1
2
+(
1
2
)n+1
…(14分)
點評:本題考查數列與函數的綜合,考查數列的通項,考查不等式的證明,確定數列的通項是關鍵.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源:2009-2010學年廣東省廣州市培英中學高三(上)第一次月考數學試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

如圖,曲線段C是函數(x≥0)的圖象,C過點P1(1,1).過P1作曲線C的切線交x軸于Q1點,過Q1作垂直于x軸的直線交曲線C于P2點,過P2的切線交x軸于Q2點,…,如此反復,得到一系列點Q1,Q2,…,Qn,設Qn(an,0).
(1)求a1
(2)求an的表達式;
(3)證明:(n∈N*).

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