Question

已知：一窗戶滿足

0≤x≤1 0≤y≤e-1

（單位m），一蜘蛛在窗戶上布的蜘蛛網滿足

f(x)=ex-1 y=et-1

（t為常數，且0≤t≤1），圖象圍成的封閉圖形如圖3中陰影所示．
（1）當t變化時，求蜘蛛捕捉住一只蒼蠅概率的最小值
（2）在（1）條件下若有4只蒼蠅從窗戶飛過，ξ表示蜘蛛捕捉到蒼蠅數，求捕捉到蒼蠅數分布列及數學期望．

Answer 1

分析：（1）窗戶的最大面積是S_1max=e-1，蜘蛛網的面積S₂=∫₀^t（e^t-e^x）dx+∫_t¹（e^x-e^t）dx=（2t-3）•e^t+e+1，t=

1

2

時，S_2min=e-2

e

+1．所以當t變化時，求蜘蛛捕捉住一只蒼蠅概率的最小值p=

e-2 e +1

e-1

=

e -1

e +1

．
（2）由題設知ξ～B（4，

e -1

e +1

），由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答：解：（1）∵一窗戶滿足

0≤x≤1 0≤y≤e-1

（單位m），
∴窗戶的最大面積是S_1max=e-1，
∵一蜘蛛在窗戶上布的蜘蛛網滿足

f(x)=ex-1 y=et-1

（t為常數，且0≤t≤1），
∴蜘蛛網的面積S₂=∫₀^t（e^t-e^x）dx+∫_t¹（e^x-e^t）dx
=[e^tx-e^x]|₀^t+[e^x-e^tx]|_t¹
=e^t•t-e^t+1+e-e^t-e^t+e^tt
=2t•e^t-3e^t+e+1
=（2t-3）•e^t+e+1
∵S₂′=2e^t+（2t-3）e^t，
∴由S₂′=2e^t+（2t-3）e^t=0，得t=

1

2

．
當t∈[0，

1

2

)時，S₂′=2e^t+（2t-3）e^t＜0，
當t∈(

1

2

，1]時，S₂′=2e^t+（2t-3）e^t＞0，
∴t=

1

2

時，S_2min=e-2

e

+1．
∴當t變化時，求蜘蛛捕捉住一只蒼蠅概率的最小值
p=

e-2 e +1

e-1

=

e -1

e +1

．
（2）由題設知ξ～B（4，

e -1

e +1

），
∴ξ的分布列是P（ξ=k）=

C

k 4

(

e -1

e +1

)k•(

2

e +1

)4-k，k=0，1，2，3，4．
Eξ=

4 e -4

e +1

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，考查學生的運算能力，考查學生探究研究問題的能力，解題時要認真審題，注意定積分的靈活運用．計算量大且繁瑣，容易出錯，要注意培養計算能力．