Question

已知M是△ABC內的一點，且

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°．定義：f（M）=（x，y，z），其中x，y，z分別為△MBC，△MCA，△MAB的面積，若f（M）=（x，y，

1

2

），則

1

2x

+

2

y

的最小值為

9

，此時f（M）=（

(

1

6

，

1

3

，

1

2

)

．

Answer 1

分析：利用向量的數量積公式、三角形的面積公式，確定x+y=

1

2

，再利用基本不等式，即可求得結論．

解答：解：∵

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°，
∴|

AB

||•

AC

|=4
∴S_△ABC=

1

2

|

AB

||•

AC

|sin30°=1
∵x，y，z分別為△MBC，△MCA，△MAB的面積，f（M）=（x，y，

1

2

），
∴x+y=

1

2

∴

1

2x

+

2

y

=2（x+y）（

1

2x

+

2

y

）=2（

1

2

+2+

y

2x

+

2x

y

）≥2(

5

2

+2

y 2x • 2x y

=9
當且僅當

y

2x

=

2x

y

，即y=2x=

1

3

時，取等號，此時，

1

2x

+

2

y

的最小值為9，f（M）=(

1

6

，

1

3

，

1

2

)
故答案為：9，(

1

6

，

1

3

，

1

2

)

點評：本題考查向量知識的意義，考查基本不等式，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．