Question

過原點O作圓x²+y²-8x=0的弦OA．
（1）求弦OA中點M的軌跡方程；
（2）如果M（x，y）是（1）中的軌跡上的動點，
①求T=x²+y²+4x-6y的最大、最小值；
②求N=的最大、最小值．

Answer 1

解：（1）圓x²+y²-8x=0的圓心坐標為C（4，0）
∵M為OA的中點，OA為圓的弦
∵∠OMC=90°，
∴動點M在以OC為直徑的圓上，
∵C（4，0）
∴動點M的圓心坐標為：（2，0），半徑為：2
∴所求點的軌跡方程為x²+y²-4x=0．
（2）x²+y²-4x=0可化為（x-2）²+y²=4，圓心為B（2，0），半徑為2
①T=x²+y²+4x-6y=（x+2）²+（y-3）²-13
要求T=x²+y²+4x-6y的最大、最小值，只需求（x+2）²+（y-3）²的最大、最小值
（x+2）²+（y-3）²表示（x，y）與E（-2，3）兩點間距離的平方，即圓（x-2）²+y²=4上的點與E（-2，3）兩點間距離的平方
∵圓（x-2）²+y²=4上的點與E（-2，3）兩點間距離，最大為|BE|+2=5+2=7，最小為|BE|-2=5-2=3
∴（x+2）²+（y-3）²的最大值為49、最小值為9
∴T=x²+y²+4x-6y=（x+2）²+（y-3）²-13的最大值36 最小值-4
②N=表示圓（x-2）²+y²=4上的點與點P（-2，0）連線的斜率，當過（-2，0）的直線與圓相切時，由于|PB|=4，圓的半徑為2，∴切線的傾斜角為30°或150°
∴圓（x-2）²+y²=4上的點與點P（-2，0）連線的斜率的最大值，最小值
∴N=的最大值，最小值



分析：（1）注意到：∠OMC=90°，動點M在以OC為直徑的圓上，故可以求出圓心與半徑，寫出圓的方程．
（2）要求T=x²+y²+4x-6y的最大、最小值，只需求（x+2）²+（y-3）²的最大、最小值，（x+2）²+（y-3）²表示（x，y）與E（-2，3）兩點間距離的平方，即圓（x-2）²+y²=4上的點與E（-2，3）兩點間距離的平方，故可求；
（3）N=表示圓（x-2）²+y²=4上的點與點P（-2，0）連線的斜率，求出過（-2，0）的直線與圓相切時的斜率，即可得到結論．
點評：本題重點考查軌跡方程的求法，考查圓的標準方程，求函數的最值，明確目標函數的幾何意義是解題的關鍵．