Question

（2012•福州模擬）過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦點F引圓x²+y²=a²的切線，切點為T，延長FT交雙曲線右支于點P，若T為線段FP的中點，則該雙曲線的漸近線方程為（　　）

A．x±y=0

B．2x±y=0

C．4x±y=0

D．x±2y=0

Answer 1

分析：由過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦點F引圓x²+y²=a²的切線，切點為T，知OT=a，設雙曲線的右焦點為F′，由T為線段FP的中點，知|PF′|=2a，|PF|=2b，由雙曲線的定義知：2b-2a=2a，由此能求出雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程．

解答：解：∵過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦點F引圓x²+y²=a²的切線，切點為T，
∴OT=a，
設雙曲線的右焦點為F′，
∵T為線段FP的中點，
∴|PF′|=2a，|PF|=2b，
由雙曲線的定義知：2b-2a=2a，
∴b=2a．
∴雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為bx±ay=0，
即2ax±ay=0，
∴2x±y=0．
故選B．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．