Question

已知函數f（x）=

1

3

x3-

1

2

ax2+

9

2

(a＞0)
（1）當a=3時，求f（x）的單調遞增區間；
（II）求證：曲線y=f（x）總有斜率為a的切線；
（III）若存在x∈[-1，2]，使f（x）＜0成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出導函數，令導函數大于0求出x的范圍，寫成區間即為f（x）的單調遞增區間；
（II）求出導函數，令f′（x）=x²-ax=a，因為判別式大于0恒成立，方程x²-ax-a=0對任意正數a都有解，得到證明．
（III）求出導函數，令導函數等于0求出根，通過對a的分類討論得到根a在已知區間內函數的最小值大于0恒成立，所以此時不存在x∈[-1，2]，使f（x）＜0成立，當根a不在區間內求出f（x）的最小值，令最小值小于0求出a的范圍即可．

解答：解：（Ⅰ）當a=3時，

1

3

x3-

3

2

x2+

9

2

，
f′（x）=x²-3x，
令f′（x）=x²-3x＞0解得x＜0或x＞3．
所以f（x）的單調遞增區間（-∞，0），（3，+∞）．
（II）f′（x）=x²-ax，
令f′（x）=x²-ax=a，即x²-ax-a=0，
因為a＞0，
所以△=a²+4a＞0恒成立，
所以方程x²-ax-a=0對任意正數a都有解，
所以曲線y=f（x）總有斜率為a的切線；
由（II）知，f′（x）=x²-ax，
令f′（x）=x²-ax=0得x₁=0或x₂=a，
因為a＞0，所以當0＜a＜2時，x，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

因為

25-3a

6

＞0，

27-a3

6

＞0，
所以，對應任意x∈[-1，2]，f（x）＞0，即此時不存在x∈[-1，2]，使f（x）＜0成立，
當a≥2時，x，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

因為

25-3a

6

-

43-12a

6

=

3a-6

2

≥0，
所以函數f（x）在[-1，2]上的最小值是

43-12a

6

．
因為存在x∈[-1，2]，使f（x）＜0成立，
所以

43-12a

6

＜0，
所以a＞

43

12

所以a 的取值范圍為（

43

12

，+∞）

點評：本題考查利用導函數求函數的單調區間；利用導函數解決曲線的切線的斜率問題；通過導函數求函數的最值問題，屬于一道綜合題．