Question

設f（x）是定義在R⁺上的函數，并且對任意的正實數x、y，恒有f（xy）=f（x）+f（y）成立，
求證：（1）f（1）=0；
（2）；
（3）若x，y∈R⁺，則．

Answer 1

【答案】分析：（1）采用賦值法解決．在f（xy）=f（x）+f（y）中令x=y=1即可得；
（2）在f（xy）=f（x）+f（y）中令y=可得；
（3）直接利用f（xy）=f（x）+f（y）進行變形即可得．
解答：解：（1）在f（xy）=f（x）+f（y）中令x=y=1得：
f（1）=f（1）+f（1）
∴f（1）=0．
（2）在f（xy）=f（x）+f（y）中令y=得：
f（1）=f（x）+f（）
∵f（1）=0，
∴；
（3）由f（xy）=f（x）+f（y）得：
f（）+f（y）=f（×y），即f（）+f（y）=f（x）
∴．
點評：本題主要考查了抽象函數及其應用，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．