Question

求函數y=

2

x-1

在區間[2，6]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：先證明函數的單調性，用定義法，由于函數y=

2

x-1

在區間[2，6]上是減函數，故最大值在左端點取到，最小值在右端點取到，求出兩個端點的值即可．

解答：解：設x₁、x₂是區間[2，6]上的任意兩個實數，且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=

2

x1-1

-

2

x2-1

=

2[(x2-1)-(x1-1)]

(x1-1)(x2-1)

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

．
由2＜x₁＜x₂＜6，得x₂-x₁＞0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，
于是f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
所以函數y=

2

x-1

是區間[2，6]上的減函數，
因此，函數y=

2

x-1

在區間的兩個端點上分別取得最大值與最小值，
即當x=2時，y_max=2；當x=6時，y_min=

2

5

．

點評：本題考查函數的單調性，用單調性求最值是單調性的最重要的應用．