Question

已知函數f（x）=x²-2（a+1）x+2alnx（a＞0）．
（I）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（II）求f（x）的單調區間；
（III）若f（x）≤0在區間[1，e]上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）當a=1時，f（x）=x²-4x+2lnx，對f（x）求導，計算x=1時的導數值，即為y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率，從而寫出切線方程；
（II）對f（x）求導，令f'（x）=0，解方程；討論f'（x）＞0、＜0的區間，從而確定f（x）的增、減區間；
（III）由（II）知f（x）在區間[1，e]上的最大值點只在端點處取得，只須f（1）≤0且f（e）≤0，求得a的取值范圍．

解答：解：（I）因為a=1，∴f（x）=x²-4x+2lnx，
所以f，（x）=2x-4+

2

x

=

2x2-4x+2

x

（其中x＞0），∴f（1）=-3，f'（1）=0，
所以曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=-3．
（II）∵f（x）=x²-2（a+1）x+2alnx（其中a＞0）．
∴f，（x）=2x-2（a+1）+

2a

x

=

2x2-2(a+1)x+2a

x

=

2(x-1)(x-a)

x

（其中x＞0），
由f'（x）=0，得x₁=a，x₂=1；
①當0＜a＜1時，在x∈（0，a）或x∈（1，+∞）時f'（x）＞0，在x∈（a，1）時f'（x）＜0，
所以f（x）的單調增區間是（0，a）和（1，+∞），單調減區間是（a，1）；
②當a=1時，在x∈（0，+∞）時f'（x）≥0，所以f（x）的單調增區間是（0，+∞）；
③當a＞1時，在x∈（0，1）或x∈（a，+∞）時f'（x）＞0，在x∈（1，a）時f'（x）＜0．
所以f（x）的單調增區間是（0，1）和（a，+∞），單調減區間是（1，a）．
（III）由（II）知：當0＜a≤1時，f（x）在區間[1，e]上是增函數，最大值是f（e）；
當a＞1時，f（x）在區間[1，e]上只可能有極小值點，最大值只在區間的端點處取到，
即有f（1）=1-2（a+1）=-2a-1≤0，∴a≥-

1

2

；且f（e）=e²-2（a+1）e+2a=e²-2e-2（e-2）a≤0，整理得a≥

e2-2e

2e-2

，所以a的取值范圍是{a|a≥

e2-2e

2e-2

}．

點評：本題利用導數求函數在某一點處的切線方程，判定函數的單調性以及求函數在區間上的最值問題，是難題．