Question

已知M（-2，0）和N（2，0）是平面上的兩點，動點P滿足：||PM|-|PN||=2．
（1）求點P的軌跡方程；
（2）記點P的軌跡為曲線C，過點N作方向向量為（-1，-1）的直線l，它與曲線C相交于A，B兩點，求△AOB的面積．

Answer 1

分析：（1）聯系雙曲線的第一定義，半焦距c=2，實半軸a=1，從而虛半軸b=

3

，故可求點P的軌跡方程；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據直線l方向向量為（-1，-1），可求直線L的方程為：y=x-2，直線l與曲線C的方程

y=x-2  x2- y2 3 =1

可得：2x²+4x-7=0，利用韋達定理得x₁+x₂=-2，x1x2=-

7

2

，從而可求|AB|，再求出O點到直線l的距離，即可求出△AOB的面積．

解答：解：（1）由雙曲線的定義，點P的軌跡是以M、N為焦點，實軸長2a=2的雙曲線．
因此半焦距c=2，實半軸a=1，從而虛半軸b=

3

，
所以雙曲線的方程為x2-

y2

3

=1
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）    
∵直線l方向向量為（-1，-1），
∴直線l的斜率k=1
故直線l的方程為：y=x-2      
聯立直線l與曲線C的方程

y=x-2  x2- y2 3 =1

可得：2x²+4x-7=0
∴x₁+x₂=-2，x1x2=-

7

2

于是|AB|=

1+k2

×

(x1+x2)2-4x1x2

=6
又O點到直線l的距離為：d=

|-2|

2

=

2

∴S△AOB=

1

2

d×|AB|=3

2

點評：本題主要考查利用雙曲線的定義求軌跡方程，考查直線與雙曲線的位置關系，考查三角形面積的計算，解題的關鍵是正確運用韋達定理求|AB|