Question

已知球O的表面積為8π，A，B，C是球面上的三點，點M是AB的中點，AB=2，BC=1，∠ABC=，則二面角M=OC-B的大小為    ．

Answer 1

【答案】分析：首先判斷得出△ACB為RT△，從而 OM⊥面QMC，過B作BE⊥MC，再過B作BF⊥OC，連接EF，則∠BFE為面角M-OC-B的平面角．
解答：解：在三角形ABC中，AB=2，BC=1，∠ABC=，由余弦定理，得出AC²=AB²+CB²-2AB•CBcos∠ABC=1+4-2×1×2×=3，AC=，AC²+CB²=AB²
∴△ACB為RT△，
∵點M是AB的中點，所以M為△ABC的外心，即為過點A，B，C的截面圓圓心，
由球的截面圓性質可得OM⊥面ABC，過B作BE⊥MC，則OM⊥BE，得出BE⊥面OMC，
∴BE⊥OC，
再過B作BF⊥OC，連接EF，則OC⊥面BFE．
∠BFE為面角M-OC-B的平面角．
易知△BMC為正三角形，BE=，
S_△OBC==而h===．
∴BF==．
由勾股定理EF²=BF²-BE²=
∴tan∠BFE==．∠BFE=arctan
故答案為：arctan
點評：本題考查二面角大小求解，考查空間想象能力、推理論證、計算、轉化能力．