Question

(09·江蘇文)在平面直角坐標系xOy中，已知圓C₁：(x＋3)²＋(y－1)²＝4和圓C₂：(x－4)²＋(y－5)²＝4

(1)若直線l過點A(4,0)，且被圓C₁截得的弦長為2，求直線l的方程；

(2)設P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l₁和l₂，它們分別與圓C₁和圓C₂相交，且直線l₁被圓C₁截得的弦長與直線l₂被圓C₂截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點P的坐標．

Answer 1

[解析]　(1)由于直線x＝4與圓C₁不相交，所以直線l的斜率存在，設直線l的方程為y＝k(x－4)，圓C₁的圓心C₁(－3,1)到直線l的距離為

因為直線l被圓C₁截得的弦長為2，

即k＝0或k＝－，

所以直線l的方程為y＝0或7x＋24y－28＝0

(2)設點P(a，b)滿足條件，不妨設直線l₁的方程為y－b＝k(x－a)，k≠0，則直線l₂的方程為，因為C₁和C₂的半徑相等，及直線l₁被圓C₁截得的弦長與直線l₂被圓C₂截得的弦長相等，所以圓C₁的圓心到直線l₁的距離和圓C₂的圓心到直線l₂的距離相等，

這樣點P只可能是點

經檢驗點P₁和P₂滿足題目條件．