Question

已知直三棱柱ABC—A₁B₁C₁,AB=AC,F為棱BB₁上一點,BF∶FB₁=2∶1 ,BF=BC=2a.

(1)若D為BC的中點,E為線段AD上不同于A、D的任意一點.證明EF⊥FC₁.

(2)試問:若AB=2a,在線段AD上的E點能否使EF與平面BB₁C₁C成60°角,為什么?證明你的結論.

Answer 1

(1)證明:連結OF,容易證明AD⊥面BB₁C₁C,DF是EF在面B₁C₁CB的射影,且DF⊥FC₁,∴FC₁⊥EF.

(2)解析：∵AD⊥面BB₁C₁C,∠DEF是EF與面BB₁C₁C所成的角，?

在△EDF中,若∠EFD=60°,則ED=DF·tan60°=·a =a.?

∵AB=BC=AC=2a,∴AD=a.?

∵a＞a，∴E在DA的延長線上,而不在線段AD上.?

故線段AD上的E點不可能使EF與平面BB₁C₁C成60°角.