Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，O是AC與BD的交點，E是B1B上一點，且B₁E=．
（Ⅰ）求證：B₁D⊥平面D₁AC；
（Ⅱ）求異面直線D₁O與A₁D所成角的余弦值；
（Ⅲ）求直線D₁O與平面AEC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：由于是正方體所以建立空間直角坐標系解題簡潔
（Ⅰ）求出，，即可證明B₁D，垂直平面D₁AC內的兩條相交直線AC與AD₁，就證明了B₁D⊥平面D₁AC．
（（Ⅱ）求向量D₁O與向量A₁D，的數量積，即可求出異面直線D₁O與A₁D所成角的余弦值；
（Ⅲ）求平面AEC的法向量為n，再求出，利用，即可求直線D₁O與平面AEC所成角的正弦值．
解答：解：（Ⅰ）如圖，以D為原點建立空間直角坐標系D-xyz．
則D（0，0，0），C（0，2，0），A（2，0，0），B₁（2，2，2），D₁（0，0，2）
∴，，．
∵
又AC與AD₁交于A點，
∴B₁D⊥平面D₁AC．（4分）
（Ⅱ）設A₁D與D₁O所成的角為θ．D₁（0，0，2），O（1，1，0），A₁（2，0，2）．
∴，．
∴．
所求異面直線A₁D與D₁O所成角的余弦值為．（9分）
（Ⅲ）設平面AEC與直線D₁O所成的角為ϕ．
設平面AEC的法向量為n=（x，y，z）．，C（0，2，0），A（2，0，0），，．
令z=1，則∴．
∴．
所求平面AEC與直線D₁O所成角的正弦值為．（14分）
點評：本題考查直線與平面垂直的判定，異面直線所成的角，直線與平面所成的角，考查空間想象能力，邏輯思維能力，計算能力，是中檔題．