Question

如圖．在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=，AA₁=3，D是BC的中點，點E在棱BB₁上運動．
（1）證明：AD⊥C₁E；
（2）當異面直線AC，C₁E 所成的角為60°時，求三棱錐C₁-A₁B₁E的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據直三棱柱的性質，得AD⊥BB₁，等腰△ABC中利用“三線合一”證出AD⊥BC，結合線面垂直判定定理，得AD⊥平面BB₁C₁C，從而可得AD⊥C₁E；
（2）根據AC∥A₁C₁，得到∠EC₁A₁（或其補角）即為異面直線AC、C₁E 所成的角．由A₁C₁⊥A₁B₁且A₁C₁⊥AA₁，證出A₁C₁⊥平面AA₁B₁B，從而在Rt△A₁C₁E中得到∠EC₁A₁=60°，利用余弦的定義算出C₁E=2A₁C₁=2，進而得到△A₁B₁E面積為，由此結合錐體體積公式即可算出三棱錐C₁-A₁B₁E的體積．
解答：解：（1）∵直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥平面ABC，AD?平面ABC，∴AD⊥BB₁
∵△ABC中，AB=AC，D為BC中點，∴AD⊥BC
又∵BC、BB₁?平面BB₁C₁C，BC∩BB₁=B
∴AD⊥平面BB₁C₁C，結合C₁E?平面BB₁C₁C，可得AD⊥C₁E；
（2）∵直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC∥A₁C₁，
∴∠EC₁A₁（或其補角）即為異面直線AC、C₁E 所成的角
∵∠BAC=∠B₁A₁C₁=90°，∴A₁C₁⊥A₁B₁，
又∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，可得A₁C₁⊥AA₁，
∴結合A₁B₁∩AA₁=A₁，可得A₁C₁⊥平面AA₁B₁B，
∵A₁E?平面AA₁B₁B，∴A₁C₁⊥A₁E
因此，Rt△A₁C₁E中，∠EC₁A₁=60°，可得cos∠EC₁A₁==，得C₁E=2A₁C₁=2
又∵B₁C₁==2，∴B₁E==2
由此可得V=S_△×A₁C₁=×=
點評：本題給出直三棱柱的底面是等腰直角三角形，在已知側棱長和底面邊長的情況下證明線線垂直并求錐體的體積，著重考查了直棱柱的性質、空間線面垂直的判定與性質等知識，屬于中檔題．