Question

如圖1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E，F分別為邊AD和BC上的點，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4．將四邊形EFCD沿EF折起成如圖2的位置，使AD=AE．
（Ⅰ）求證：BC∥平面DAE；
（Ⅱ）求四棱錐D-AEFB的體積．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵CF∥DE，FB∥AE，BF∩CF=F，AE∩DE=E
∴面CBF∥面DAE，又BC?面CBF，
所以BC∥平面DAE
（Ⅱ）取AE的中點H，連接DH，
∵EF⊥ED，EF⊥EA∴EF⊥平面DAE
又DH?平面DAE∴EF⊥DH，
∵
∴DH⊥面AEFB，
所以四棱錐D-AEFB的體積
分析：（Ⅰ）根據CF∥DE，FB∥AE，BF∩CF=F，AE∩DE=E，滿足面面平行的判定定理，則面CBF∥面DAE，又BC?面CBF，根據面面平行的性質可知BC∥平面DAE；
（Ⅱ）取AE的中點H，連接DH，根據EF⊥ED，EF⊥EA，則EF⊥平面DAE，又DH?平面DAE，根據線面垂直的性質可知EF⊥DH，再根據，則DH⊥面AEFB，根據體積公式即可求出四棱錐D-AEFB的體積．
點評：本題主要考查棱錐的體積公式和線面平行的判定定理的應用．考查對定理的掌握情況和對基礎知識的綜合運用．