Question

若已知函數f（x）=e^x+x²-x，若對任意x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤k恒成立，則k的取值范圍為    ．

Answer 1

【答案】分析：函數f（x）=e^x+x²-x對任意x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤k恒成立，等價于f（x）=e^x+x²-x在[-1，1]內滿足其最大值與最小值的差小于等于k．
解答：解：∵f（x）=e^x+x²-x，
∴f′（x）=e^x+2x-1，
由f′（x）=e^x+2x-1=0，得x=0．
∵f（-1）=+2，f（1）=e，f（0）=1．
∴函數f（x）=e^x+x²-x在[-1，1]內的最大值是e，最小值是1．
∴函數f（x）=e^x+x²-x，對任意x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤e-1．
∵函數f（x）=e^x+x²-x對任意x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤k恒成立，
∴k≥e-1．
∴k的取值范圍為[e-1，+∞）．
故答案為：[e-1，+∞）．
點評：本題考查滿足條件的實數的取值范圍的求法，解題的關鍵是要分析出|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min．