Question

已知函數f（x）=|2x-1|+|x+1|．
（1）解不等式f（x）≥5x；
（2）若不等式f（x）≥ax+1的解集為R，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）f（x）=|2x-1|+|x+1|=

-3x，x＜-1 2-x，-1≤x≤ 1 2 3x，x＞ 1 2

，在各段上分別解不等式f（x）≥5x，最后取其并集即可；
（2）在同一直角坐標系中分別作出f（x）=

-3x，x＜-1 2-x，-1≤x≤ 1 2 3x，x＞ 1 2

與g（x）=ax+1的圖象，通過數形結合，利用直線的斜率公式即可求得實數a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=|2x-1|+|x+1|=

-3x，x＜-1 2-x，-1≤x≤ 1 2 3x，x＞ 1 2

，
∴當x＜-1時，f（x）≥5x?-3x≥5x，解得x≤0，
∴x＜-1；
當-1≤x≤

1

2

時，f（x）≥5x?2-x≥5x，解得x≤

1

3

，
∴-1≤x≤

1

3

，
當x＞

1

2

時，f（x）≥5x?3x≥5x，解得x＜0，
∴此時x∈∅；
綜上所述，不等式f（x）≥5x的解集為（-∞，

1

3

]；
（2）∵g（x）=ax+1恒過定點P（0，1），
在同一直角坐標系中作出f（x）=

-3x，x＜-1 2-x，-1≤x≤ 1 2 3x，x＞ 1 2

與g（x）=ax+1的圖象，

由圖知，直線PB的斜率k₁=

3 2 -1

1 2 -0

=1，直線PA的斜率k₂=

3-1

-1-0

=-2；
∵不等式f（x）≥ax+1的解集為R，
∴-2≤a≤1，
即不等式f（x）≥ax+1的解集為R時，實數a的取值范圍為[-2，1]．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，去掉絕對值符號是關鍵，也是難點，突出考查轉化思想、分類討論思想、數形結合思想的綜合應用，屬于難題．