Question

過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F的直線AB交拋物線于A，B兩點，弦AB的中點為M，過M作AB的垂直平分線交x軸于N．
（1）求證：；
（2）過A，B的拋物線的切線相交于P，求P的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求AB的垂直平分線，求出AB的垂直平分線交x軸于N的坐標，進而求得，|AB|=x₁+x₂+p=2x+p，從而問題得證；
（2）先求過A，B的拋物線的切線方程，利用過A，B的拋物線的切線相交于P，可求AB的方程，利用AB過點F，即可求得P的軌跡方程．
解答：（1）證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），則
∴AB的垂直平分線為
令y=0，則x_N=x+p
∴
∵|AB|=x₁+x₂+p=2x+p
∴
（2）解：y≥0時，，y′=
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x′，y′），則切線方程為：y₁y=p（x+x₁），y₂y=p（x+x₂）
∵過A，B的拋物線的切線相交于P，
∴y′y₁=p（x′+x₁），y′y₂=p（x′+x₂）
∴AB的方程為y′y=p（x′+x）
而AB過F
∴
∴
∴P的軌跡方程為
點評：本題以拋物線方程為載體，考查拋物線的性質，考查拋物線的切線方程，考查軌跡方程，用好拋物線的定義，正確求出拋物線的切線方程是解題的關鍵．