Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱長都等于2a，下底面ABC在水平面上保持不動，在側棱與底面所成的角保持為60°的情況下，上底面A₁B₁C₁還是可以移動的，則△A₁B₁C₁在下底面ABC所在平面上的豎直投影所掃過的區域的面積為

(6+

3

+π)a2

．

Answer 1

分析：由已知中三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱長都等于2a，下底面ABC在水平面上保持不動，又由側棱與底面所成的角為60°，我們可以分析出△A₁B₁C₁在下底面ABC所在平面上的豎直投影所掃過的區域的形狀，進而求出其面積．

解答：解：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱長都等于2a，
當下底面ABC在水平面上保持不動，
且側棱與底面所成的角為60°時，
△A₁B₁C₁在下底面ABC所在平面上的豎直投影所掃過的區域如下圖所示：

由圖可知該區域有一個邊長為2a的正三角形，三個兩邊長分別為2a，a的矩形，和三個半徑為a，圓心角為120°的扇形組成
其面積S=

3

4

•（2a）²+3•（2a）•a+π•a²=(6+

3

+π)a2
故答案為：(6+

3

+π)a2

點評：本題考查的知識點是棱柱的結構特征，線面夾角，其中根據側棱與底面的夾角，則上頂點在下底面上的投影是一個以下頂點為圓心，以a為半徑的圓，進而畫出△A₁B₁C₁在下底面ABC所在平面上的豎直投影所掃過的區域的形狀，是解答本題的關鍵．