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(2012•江蘇二模)記fn(x,y)=(x+y)n-(xn+yn),其中x,y為正實數,n∈N+.給定正實數a,b滿足a=
bb-1
.用數學歸納法證明:對于任意正整數n,fn(a,b)≥fn(2,2).
分析:欲證不等式為(a+b)n-an-bn≥22n-2n+1,利用數學歸納法證明,第2步,先證明akb+abk≥2
(ab)k+1
=2k+2
,再利用歸納假設,即可證得結論.
解答:證明:欲證不等式為(a+b)n-an-bn≥22n-2n+1
(1)當n=1時,不等式左邊=0,右邊=0,不等式成立;
(2)假設n=k時,不等式成立,即(a+b)k-ak-bk≥22k-2k+1
由正實數a,b滿足a=
b
b-1
,可得a+b=ab
∵a>0,b>0,∴a+b≥2
ab
,∴ab≥4,a+b=ab≥4,∴akb+abk≥2
(ab)k+1
=2k+2

則n=k+1時,不等式左邊=(a+b)k+1-ak+1-bk+1=(a+b)[(a+b)k-ak-bk]+akb+abk
≥4(22k-2k+1)+2k+2=22k+2-2k+2
即n=k+1時成立
由(1)(2)可知,正實數a,b滿足a=
b
b-1
,為(a+b)n-an-bn≥22n-2n+1
點評:本題考查數學歸納法,考查學生分析解決問題的能力,證題的關鍵是第2步,應使用歸納假設.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

(2012•江蘇二模)設m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,給出下列命題:
(1)若α∥β,m?β,n?α,則m∥n;
(2)若α∥β,m⊥β,n∥α,則m⊥n;
(3)若α⊥β,m⊥α,n∥β,則m∥n;
(4)若α⊥β,m⊥α,n⊥β,則m⊥n.
上面命題中,所有真命題的序號為
(2),(4)
(2),(4)

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2012•江蘇二模)如圖,已知A、B是函數y=3sin(2x+θ)的圖象與x軸兩相鄰交點,C是圖象上A,B之間的最低點,則
AB
AC
=
π2
8
π2
8

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2012•江蘇二模)如圖,在C城周邊已有兩條公路l1,l2在點O處交匯,現規劃在公路l1,l2上分別選擇A,B兩處為交匯點(異于點O)直接修建一條公路通過C城,已知OC=(
2
+
6
)km
,∠AOB=75°,∠AOC=45°,設OA=xkm,OB=ykm.
(1)求y關于x的函數關系式并指出它的定義域;
(2)試確定點A、B的位置,使△OAB的面積最小.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2012•江蘇二模)設實數n≤6,若不等式2xm+(2-x)n-8≥0對任意x∈[-4,2]都成立,則
m4-n4
m3n
的最小值為
-
80
3
-
80
3

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2012•江蘇二模)已知雙曲線
x2
m
-
y2
3
=1(m>0)
的一條漸近線方程為y=
3
2
x
,則m的值為
4
4

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