Question

如圖，是函數和y=3x²圖象的一部分，其中x=x₁，x₂（-1＜x₁＜0＜x₂）時，兩函數值相等．
（1）給出如下兩個命題：①當x＜x₁時，；②當x＞x₂時，，試判定命題①②的真假并說明理由；
（2）求證：x₂∈（0，1）．

Answer 1

【答案】分析：（1）命題①是假命題，可以舉反例：取x=-10，進行驗證即可；命題②是真命題，利用函數在[x₂，+∞）上是減函數，函數y=3x²在[x₂，+∞）上是增函數，即可證得；
（2）先將函數圖象交點范圍問題轉化為函數，的零點問題，再利用零點存在性定理，判斷零點范圍即可作出證明．
解答：解：（1）命題①是假命題，可以舉反例：取x=-10，則x＜x₁，但是，3×（-10）²=300，不成立；
命題②是真命題，∵函數在[x₂，+∞）上是減函數，函數y=3x²在[x₂，+∞）上是增函數，
∴當x＞x₂時，；
（2）構造函數，則f（0）=-1＜0，，
∴f（x）在區間（0，1）內有零點，又∵函數在區間（0，+∞）上單調遞增，
∴f（x）在區間（0，1）內的零點唯一，即x₂，
∴x₂∈（0，1）；
點評：本題主要考查了函數零點的存在性定理和零點范圍的判斷方法，函數零點問題與函數圖象交點問題間的聯系和相互轉化，一定的運算能力和比較大小能力