Question

過正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的頂點(diǎn)A₁在空間作直線l，使l與直線AC和BC₁所成的角都等于

π

3

，則這樣的直線l共可以作出（　　）

• A、1條
• B、2條
• C、3條
• D、4條

Answer 1

分析：根據(jù)題意，因?yàn)锳D₁∥BC₁，所以直線AC和BC₁所成的角即為直線AC和AD₁所成的角，所以過A₁在空間作直線l，使l與直線AC和BC₁所成的角都等于

π

3

，可轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)A在空間作直線l，使l與直線AC和AD₁所成的角都等于

π

3

．可分在平面ACD₁內(nèi)和在平面ACD₁外兩種情況尋找．因?yàn)橐�與直線AC和AD₁所成的角都相等，故在平面ACD₁內(nèi)可考慮角平分線；在平面ACD₁外可將角平分線繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)考慮．

解答：解：因?yàn)锳D₁∥BC₁，所以直線AC和BC₁所成的角即為直線AC和AD₁所成的角，所以過A₁在空間作直線l，使l與直線AC和BC₁所成的角都等于

π

3

，即過點(diǎn)A在空間作直線l，使l與直線AC和AD₁所成的角都等于

π

3

．
因?yàn)椤螦CD₁=60°，∠ACD₁的外角平分線與AC和AD₁所成的角相等，均為60°，所以在平面ACD₁內(nèi)有一條滿足要求．
因?yàn)椤螦CD₁的角平分線與AC和AD₁所成的角相等，均為30°，將角平分線繞點(diǎn)A向上轉(zhuǎn)動(dòng)到與面ACD₁垂直的過程中，存在兩條直線與直線AC和BC₁所成的角都等于

π

3

，故符合條件的直線有3條．
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線所成角的問題，考查空間想象能力和轉(zhuǎn)化能力．