Question

已知四棱錐的三視圖如下圖所示，是側棱上的動點.

(1) 求四棱錐的體積；

(2) 是否不論點在何位置，都有？證明你的結論；

(3) 若點為的中點，求二面角的大小.

Answer 1

解：(1) 由三視圖可知，四棱錐的底面是邊長為1的正方形，

側棱底面，且.                    …………2分

∴，

即四棱錐的體積為.                 …………4分

(2) 不論點在何位置，都有.               …………5分

證明如下：連結，∵是正方形，∴.         

∵底面，且平面，∴.      

又∵，∴平面.                   …………8分

∵不論點在何位置，都有平面. 

∴不論點在何位置，都有.                     …………9分

(3) 解法1：在平面內過點作于，連結.

∵，，，

∴Rt△≌Rt△，

從而△≌△，∴.

∴為二面角的平面角.            …………12分

在Rt△中，，

又，在△中，由余弦定理得

，    …………13分

∴，即二面角的大小為.  …………14分

（3）解法2：建立空間直角坐標系如圖

.使C(0,0,0),，從而

，，，. …………10分

設平面和平面的法向量分別為

，，

由，取.      …………11分

由，取.  …………12分

設二面角的平面角為，則，         …………13分

  ∴，即二面角的大小為.        …………14分