Question

設函數f（x）=log_a（a^x+

1

ax

）．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）判斷函數f（x）在（0，+∞）的單調性并證明．

Answer 1

分析：（1）由已知可得f（x）的定義域為R，且f（-x）=f（x），可得f（x）為偶函數．
（2）設h（x）=a^x+

1

ax

，利用定義證明，h（x）在（0，+∞）上是增函數，再討論a的范圍，可得
f（x）在（0，+∞）上的單調性．

解答：解：（1）由已知可得f（x）的定義域為R，根據f（-x）=log_a（a^-x+

1

a-x

）
=log_a（a^x+

1

ax

）=f（x），
故f（x）為偶函數．
（2）設h（x）=a^x+

1

ax

，當a＞1時，令x₁＞x₂＞0，故h（x₁）＞h（x₂），
log_ah（x₁）＞log_ah（x₂），即f（x₁）＞f（x₂），故當a＞1時，f（x）在（0，+∞）上是增函數．
同理可證當0＜a＜1時，f（x）在（0，+∞）上是減函數．

點評：本題主要考查函數的奇偶性的判斷方法，利用函數的單調性的定義證明函數的單調性，體現了分類討論的
數學思想，屬于中檔題．