Question

如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD為正方形，側棱與底面邊長均為2a，且∠A₁AD=∠A₁AB=60°，則側棱AA₁和截面B₁D₁DB的距離是    ．

Answer 1

【答案】分析：由題意知平面B₁D₁DB垂直于A₁AC₁C，連A₁D，A₁B，A₁C₁，AC，設A₁C₁交B₁D₁于O₁點，AC交BD于O點，根據ABCD為正方形可求得BD，進而求得A₁O₁，根據∠A₁AD=∠A₁AB=60求得A₁D和A₁B，進而可知A₁D²+A₁B²=B₁D₁²，推斷出△A₁BD為等腰直角三角形，同理可推斷△AO₁O為等腰直角三角形，進而求得A₁到OO₁的距離，答案可得．
解答：解：由題意知平面B₁D₁DB垂直于A₁ACC₁
連A₁D，A₁B，A₁C₁，AC
設A₁C₁交B₁D₁于O₁點
AC交BD于O點
∵ABCD為正方形
∴BD=A₁C₁=2a
∴A₁O₁=a
又∠A₁AD=∠A₁AB=60，
∴A₁D=A₁B=2a
A₁D²+A₁B²=B₁D₁²
則△A₁BD為等腰直角三角形
則A₁O=a=A₁O₁
在△AO₁O中
A₁O=A₁O₁=a
又OO₁=2a
∴△AO₁O為等腰直角三角形
∴A₁到OO₁的距離為a
即側棱AA₁和平面B₁D₁DB的距離是a
故答案為a．
點評：本題主要考查了線到面得距離計算．線到面的距離計算是立體幾何中常見的題型，應強化訓練．