Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF=90°，AD=2，AB=AF=2EF=1，點P在棱DF上．
（Ⅰ）若P是DF的中點，
（ⅰ） 求證：BF∥平面ACP；
（ⅱ） 求異面直線BE與CP所成角的余弦值；
（Ⅱ）若二面角D-AP-C的余弦值為，求PF的長度．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）（ⅰ）連接BD，交AC于點O，連接OP．利用OP為三角形BDF中位線，可得BF∥OP，利用線面平行的判定，可得BF∥平面ACP；
（ⅱ）利用平面ABEF⊥平面ABCD，可得⊥平面ABCD，建立空間直角坐標系，求得，，利用向量的夾角公式，即可求異面直線BE與CP所成角的余弦值；
（Ⅱ）設P點坐標為（0，2-2t，t），求得平面APF的法向量為，平面APC的法向量為，利用向量的夾角公式，即可求得結論．
解答：（Ⅰ）（ⅰ）證明：連接BD，交AC于點O，連接OP．
因為P是DF中點，O為矩形ABCD 對角線的交點，所以OP為三角形BDF中位線，所以BF∥OP，
因為BF?平面ACP，OP?平面ACP，所以BF∥平面ACP．   …（4分）
（ⅱ）因為∠BAF=90°，所以AF⊥AB，
因為平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以AF⊥平面ABCD，
因為四邊形ABCD為矩形，所以以A為坐標原點，AB，AD，AF分別為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系O-xyz．
所以B（1，0，0），，，C（1，2，0）．
所以，，
所以，
即異面直線BE與CP所成角的余弦值為．                          …（9分）

（Ⅱ）解：因為AB⊥平面ADF，所以平面APF的法向量為．
設P點坐標為（0，2-2t，t），在平面APC中，，，
所以平面APC的法向量為，
所以，
解得，或t=2（舍）．
此時．                             …（14分）
點評：本題考查線面平行，考查線線角、面面角，考查利用空間向量解決空間角問題，正確求向量是關鍵．