Question

20．已知數列{a_n}滿足a₁a₂a₃…a_n=2${\;}^{{n}^{2}}$（n∈N*），且對任意n∈N*都有$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜t，則t的取值范圍為（　　）

• A． （$\frac{1}{3}$，+∞）
• B． [$\frac{1}{3}$，+∞）
• C． （$\frac{2}{3}$，+∞）
• D． [$\frac{2}{3}$，+∞）

Answer 1

分析 數列{a_n}滿足a₁a₂a₃…a_n=2${\;}^{{n}^{2}}$（n∈N*），n=1時，a₁=2；n≥2時，a₁a₂a₃…a_n-1=${2}^{（n-1）^{2}}$，可得a_n=2^2n-1．即$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{2n-1}}$，利用等比數列的求和公式與放縮法即可得出．

解答 解：∵數列{a_n}滿足a₁a₂a₃…a_n=2${\;}^{{n}^{2}}$（n∈N*），
∴n=1時，a₁=2；n≥2時，a₁a₂a₃…a_n-1=${2}^{（n-1）^{2}}$，可得a_n=2^2n-1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{2n-1}}$，數列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$為等比數列，首項為$\frac{1}{2}$，公比為$\frac{1}{4}$．
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{2}{3}$$（1-\frac{1}{{4}^{n}}）$$＜\frac{2}{3}$．
∵對任意n∈N*都有$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜t，則t的取值范圍為$[\frac{2}{3}，+∞）$．
故選：D．

點評 本題考查了數列遞推關系、等比數列的求和公式、放縮法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．