Question

已知{a_n}為等差數列，且a_n≠0，公差d≠0．
（1）試證：

1

a1

-

1

a2

=

d

a1a2

；

C 0 2

a1

-

C 1 2

a2

+

C 2 2

a3

=

2d2

a1a2a3

；

C 0 3

a1

-

C 1 3

a2

+

C 2 3

a3

-

C 3 3

a4

=

6d3

a1a2a3a4

；
（2）根據（1）中的幾個等式，試歸納出更一般的結論，并用數學歸納法證明．

Answer 1

分析：（1）把三個式子分別通分后，利用等差數列的性質化簡即可得證；（2）根據第一問的三個等式，歸納總結出一般性的結論

C 0 n-1

a1

-

C 1 n-1

a2

+

C 2 n-1

a3

-…+

(-1)n+1 C n-1 n-1

an

=

(n-1)!dn-1

a1a2…an

，然后利用數學歸納法假設n等于k時成立，當n等于k+1時，通分并利用等差數列的性質可得也成立，得到n大于等于2時，此一般性結論都成立．

解答：解：（1）證明：由{a_n}為等差數列可得a_n-a_n-1=d（n≥2），則

1

a1

-

1

a2

=

a2-a1

a1a2

=

d

a1a2

得證；

C 0 2

a1

-

C 1 2

a2

+

C 2 2

a3

=

1

a1

-

2

a2

+

1

a3

=

1

a1

-

1

a2

+

1

a3

-

1

a2

=

a2-a1

a1a2

+

a2-a3

a2a3

=d•

a3-a1

a1a2a3

=

2d2

a1a2a3

得證；

C 0 3

a1

-

C 1 3

a2

+

C 2 3

a3

-

C 3 3

a4

=

1

a1

-

3

a2

+

3

a3

-

1

a4

=（

1

a1

-

1

a4

）-（

3

a2

-

3

a3

）
=

3d

a1a4

-

3d

a2a3

=3d•

a2a3-a1a4

a1a2a3a4

=

3d•2 d

a1a2a3a4

=

6d3

a1a2a3a4

得證．
（2）結論：

C 0 n-1

a1

-

C 1 n-1

a2

+

C 2 n-1

a3

-…+

(-1)n+1 C n-1 n-1

an

=

(n-1)!dn-1

a1a2…an

，
證：①當n=2，3，4時，等式成立，
②假設當n=k時，

C 0 k-1

a1

-

C 1 k-1

a2

+

C 2 k-1

a3

-+

(-1)k+1 C k-1 k-1

ak

=

(k-1)!dk-1

a1a2ak

成立，
那么當n=k+1時，因為C_k^k-1=C_k-1^k-1+C_k-1^k-2，所以

C 0 k

a1

-

C 1 k

a2

+

C 2 k

a3

-+

(-1)k+2 C k k

ak+1

=

C 0 k-1

a1

-

C 1 k-1 + C 0 k-1

a2

+

C 2 k-1 + C 1 k-1

a3

-+

(-1)k+1( C k-1 k-1 + C k-2 k-1 )

ak

+

(-1)k+2 C k-1 k-1

ak+1

=(

C 0 k-1

a1

-

C 1 k-1

a2

+

C 2 k-1

a3

-+

(-1)k+1 C k-1 k-1

ak

)-(

C 0 k-1

a2

-

C 1 k-1

a3

+

C 2 k-1

a4

-+

(-1)k+1 C k-1 k-1

ak+1

)=

(k-1)!dk-1

a1a2ak

-

(k-1)!dk-1

a2a3ak

=

(k-1)!dk-1

a1a2ak

(ak+1-a1)=

k!dk

a1a2akak+1

，
所以，當n=k+1時，結論也成立．
綜合①②知，

C 0 n-1

a1

-

C 1 n-1

a2

+

C 2 n-1

a3

-+

(-1)n+1 C n-1 n-1

an

=

(n-1)!dn-1

a1a2an

對n≥2都成立．

點評：此題考查學生靈活運用等差數列的性質化簡求值，要求學生會根據特殊的等式歸納總結出一般性的結論并會利用數學歸納法進行證明，是一道中檔題．