Question

如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，AB=2BC=2CD=2。

（2）若∠PDC=120°，求四棱錐P—ABCD的體積。

Answer 1

（Ⅰ）見解析 （Ⅱ）V＝

本試題主要是考查了立體幾何中的面面垂直的證明和棱錐體積的計算的綜合運用。
（1）因為要證明面面垂直，只要利用面面垂直的判定定理，先證明線面垂直，然后在得證。
（2）要求解棱錐的體積，關鍵是求解棱錐的高，借助于余弦定理和解三角形得到
解：

（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，BCÌ平面ABCD，∴PA⊥BC，又AB⊥BC，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，∵BCÌ平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB．           …4分
（Ⅱ）連結AC，則設PA＝a（a＞0），則
由余弦定理，cos∠PDC＝      …9分
解得a＝故四棱錐P—ABCD的體積V＝·(AB＋CD)·BC·PA＝