Question

已知函數f（x）=x²+ax+b．
（1）若對任意的實數x，都有f（x）≥2x+a，求b的取值范圍；
（2）當x∈[-1，1]時，f（x）的最大值為M，求證：M≥b+1；
（3）若a∈(0，

1

2

)，求證：對于任意的x∈[-1，1]，|f（x）|≤1的充要條件是

a2

4

-1≤b≤-a．

Answer 1

分析：（1）原不等式恒成立，可化為二次函數F（x）=x²+（a-2）x+b-a在R上的最小值大于或等于0，由此建立關于a、b的不等式，再根據平方非負的性質，即可得到b的取值范圍；
（2）根據題意，f（-1）和f（1）都小于等于M，將此兩個不等式相加，即可證明要求證的不等式成立；
（3）討論得：函數的最小值為b-

1

4

a²，最大值為1+a+b．結合不等式|f（x）|≤1的等價形式：-1≤f（x）≤1，即可得到滿足題意的充要條件是

a2

4

-1≤b≤-a．

解答：解：（1）對任意的實數x，都有f（x）≥2x+a，即不等式f（x）-2x-a≥0對?x∈R恒成立，
記F（x）=x²+（a-2）x+b-a，則F（x）的最小值為F（

2-a

2

）=-

1

4

（a-2）²+b-a≥0，
即b≥1+

1

4

a²≥1，所以b的取值范圍是[1，+∞）
（2）∵x∈[-1，1]時，f（x）的最大值為M，
∴f（-1）≤M且f（1）≤M，即

1-a+b≤M 1+a+b≤M

，兩式相加得2+2b≤2M
所以不等式M≥b+1成立；
（3）∵0＜a＜

1

2

，∴-

1

4

＜-

a

2

＜0，函數f（x）=x²+ax+b的圖象的對稱軸x=-

a

2

∈[-1，1]，
∴函數在[-1，-

a

2

）上是減函數，在（-

a

2

，1]上是增函數
因此函數f（x）=x²+ax+b的最小值為f（-

a

2

）=b-

1

4

a²，最大值為f（1）=1+a+b
而不等式|f（x）|≤1即-1≤f（x）≤1，它的充要條件是1+a+b≤1且-1≤b-

1

4

a²
解之得

1

4

a²-1≤b≤-a，命題得證．

點評：本題以充要條件的判斷與證明為載體，著重考查了二次函數求最值、二次不等式恒成立和含有參數的不等式討論等知識，屬于中檔題．