Question

已知橢圓C的中心為直角坐標系xOy的原點，焦點在x軸上，它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若P為橢圓C上的動點，M為過P且垂直于x軸的直線上的點，

|OP|

|OM|

=λ，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

Answer 1

分析：（1）設橢圓長半軸長及半焦距分別為a、c，由橢圓的性質可得

a-c=1 a+c=7

從而解決．
（2）設M（x，y），其中x∈[-4，4]．由已知

|OP|2

|OM|2

=λ²及點P在橢圓C上，可得

9x2+112

16(x2+y2)

=λ²，整理得（16λ²-9）x²+16λ²y²=112，其中x∈[-4，4]．再按照圓、橢圓、雙曲線、拋物線的方程討論．

解答：解：（1）設橢圓長半軸長及半焦距分別為a、c，
由已知得

a-c=1 a+c=7

，解得a=4，c=3，
所以橢圓C的方程為

x2

16

+

y2

7

=1．
（2）設M（x，y），其中x∈[-4，4]．
由已知

|OP|2

|OM|2

=λ²及點P在橢圓C上，可得

9x2+112

16(x2+y2)

=λ²，
整理得（16λ²-9）x²+16λ²y²=112，其中x∈[-4，4]．
①λ=

3

4

時，化簡得9y²=112．
所以點M的軌跡方程為y=±

4 7

3

（-4≤x≤4），軌跡是兩條平行于x軸的線段．
②λ≠

3

4

時，方程變形為

x2

112 16λ2-9

+

y2

112 16λ2

=1，
其中x∈[-4，4]；
當0＜λ＜

3

4

時，點M的軌跡為中心在原點、實軸在y軸上的雙曲線滿足-4≤x≤4的部分；
當

3

4

＜λ＜1時，點M的軌跡為中心在原點、長軸在x軸上的橢圓滿足-4≤x≤4的部分；
當λ≥1時，點M的軌跡為中心在原點、長軸在x軸上的橢圓．

點評：本題主要考查圓錐曲線的定義和性質及其方程．考查分類討論思想，是中檔題．